SEMINÁR Z MATEMATIKY – VOLITEĽNÝ PREDMET, 3.ročník

IX

FUNKCIE

1. Exponenciálna funkcia

   (1hod)

definícia exponenciálnej funkcie, graf, vlastnosti

načrtnúť graf, z neho čítať vlastnosti, rozhodnúť o monotónnosti podľa základu, porovnať hodnoty pomocou  vhodného grafu

2. Exponenciálne rovnice

    a nerovnice (3h)

exponenciálne rovnice, exponenciálne nerovnice

riešiť jednoduché rovnice typu a^x=b,  rovnice, ktoré možno previesť substitúciou na takýto tvar, príp. na kvadratickú rovnicu, riešiť jednoduché exponenciálne nerovnice typu a^x_*b, kde _* je znak nerovnosti

3. Logaritmická funkcia

   (1h)

definícia log. funkcie, graf, vlastnosti

načrtnúť graf, z neho čítať vlastnosti, rozhodnúť o monotónnosti podľa základu, porovnať hodnoty pomocou  vhodného grafu, poznať vzťah medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou ako inverznými funkciami

4. Logaritmus (1h)

logaritmus, pravidlá pre počítanie s logaritmami

vypočítať, prípadne odhadnúť hodnoty niektorých logaritmov, upraviť výrazy pomocou vzťahov pre súčet, rozdiel, násobok logaritmov, poznať zásady stanovenia podmienok existencie logaritmov

X

5. Logaritmické rovnice

    a nerovnice (4h)

logaritmické rovnice, logaritmické nerovnice

riešiť jednoduché rovnice typu log_ax=b,  rovnice, ktoré možno previesť substitúciou na takýto tvar, príp. na kvadratickú rovnicu, riešiť exponenciálne rovnice logaritmovaním, riešiť jednoduché logaritmické nerovnice typu log_ax_*b, kde _* je znak nerovnosti

6. Goniometrické funkcie

   (2h)

funkcie sínus, kosínus, tangens, kotangens – definícia, graf, vlastnosti

poznať vzťah medzi stupňovou a oblúkovou mierou, vedieť vyznačiť hodnoty goniom. funkcií reálneho čísla na jednotkovej kružnici a porovnať ho s nulou, načrtnúť grafy goniometrických funkcií a z nich čítať vlastnosti, načrtnúť grafy zložených funkcií posunom grafu, zmenou periódy

7. Úpravy výrazov

    (2h)

vzťahy  sin(-x)=-sinx,

cos (-x)=cosx, tg(-x)=-tgx,

sin(π-x)=sinx,

cos(π-x)=-cosx, sin2x=2sinx.cosx, cos2x=cos²x-sin²x, sin²x+cos²x=1, tgx.cotgx=1 a iné.

upraviť jednoduché výrazy s použitím vzťahov pre goniometrické funkcie, určiť hodnoty ostatných goniometrických funkcií, ak je známa hodnota jednej z nich, vypočítať hodnoty goniometrický funkcií niektorých argumentov pomocou známych hodnôt a vzorcov

8. Goniometrické rovnice

   (3h)

goniometrické rovnice

riešiť jednoduché rovnice typu sinx=a, cosx=a, tgx=a spamäti, príp. pomocou kalkulačky, rozhodnúť o počte ich koreňov v R a na danom intervale, riešiť rovnice s využitím vzťahov pre goniometrické funkcie a pomocou substitúcie

XI

9. Goniometrické

    nerovnice.

   Opakovanie (1h)

goniometrické nerovnice

riešiť jednoduché goniometrické nerovnice s využitím grafu alebo jednotkovej kružnice

STEREOMETRIA

1. Vzájomné polohy

    priamok a rovín

   (1h)

zobrazenie priestoru do roviny, voľné rovnobežné premietanie, vzájomné polohy útvarov, ich prienik

vedieť načrtnúť hranaté teleso vo voľnom rovnobežnom premietaní, jeho pôdorys a bokorys, na vhodnom modeli popísať vzájomné polohy 2 priamok, 2 rovín, priamky a roviny, rozhodnúť o ich prieniku

2. Rezy mnohostenov

   (3h)

rez kocky, rez hranola, rez ihlana

vedieť zostrojiť rez telesa rovinou zadanou pomocou trojice nekolineárnych bodov

3. Prienik rovín, prienik

    priamky s rovinou

   (2h)

priesečnica rovín, prienik priamky s rovinou

v kocke a v kvádri zostrojiť obraz priesečnice dvoch rovín, nájsť prienik priamky s rovinou

XII

4. Prienik priamky s

    telesom (2h)

prienik priamky s telesom, priečka priamok

v kocke a v kvádri zostrojiť prienik priamky s telesom a konštrukčne nájsť jeho skutočnú veľkosť, v jednoduchom prípade nájsť priečku dvoch mimobežiek

5. Uhol priamok (3h)

uhol dvoch priamok

vyznačiť na modeli uhol dvoch rôznobežiek a dvoch mimobežiek, vypočítať jeho skutočnú veľkosť a v jednoduchom prípade ju zostrojiť

6. Kolmosť (1h)

priamka kolmá na rovinu, kolmosť rovín

vedieť definovať  priamku kolmú na rovinu, kolmosť dvoch rovín, na vhodnom modeli nájsť dvojice kolmých útvarov

I

7. Vzdialenosť bodu od

    roviny (2h)

kolmý priemet bodu do roviny, vzdialenosť bodu a roviny

vyznačiť kolmý priemet bodu do danej roviny, vypočítať vzdialenosť bodu od roviny, v jednoduchom prípade zostrojiť skutočnú veľkosť tejto vzdialenosti

8. Vzdialenosti priamok

    a rovín (2h)

vzdialenosť dvoch rovín, vzdialenosť dvoch priamok, os mimobežiek

vypočítať vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín, vypočítať vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok, v jednoduchom prípade nájsť vzdialenosť dvoch mimobežiek ako dĺžku ich osi

9. Uhol rovín (2h)

uhol dvoch rovín

na modeli vyznačiť uhol dvoch rovín, vypočítať jeho veľkosť, v jednoduchom prípade zostrojiť jeho skutočnú veľkosť

II

10.Uhol priamky a

     roviny (3h)

uhol priamky a roviny

na modeli vyznačiť uhol priamky a roviny, vypočítať jeho veľkosť, v jednoduchom prípade zostrojiť jeho skutočnú veľkosť

11.Objem mnohostenov

    (1h)

mnohosteny, objem kocky, kvádra, hranola, ihlana, Cavalieriho princíp

vypočítať objem základných mnohostenov a telies, ktoré sú z nich zložené, využiť výpočty pre riešenie úloh z praxe

12.Povrch mnohostenov

    (2h)

siete telies, povrch kocky, kvádra, hranola, ihlana

vypočítať opovrch základných mnohostenov a telies, ktoré sú z nich zložené, využiť výpočty pre riešenie úloh z praxe

III

13.Valec, kužeľ (2h)

rotačné telesá, objem a povrch valca a kužeľa

vypočítať objem a povrch valca a kužeľa a telies, ktoré sú z nich zložené, využiť výpočty pre riešenie úloh z praxe

14.Guľa (2h)

guľa a jej časti ( guľový odsek, guľoý vrchlík)

vypočítať objem a povrch gule a jej častí, využiť výpočty pre riešenie úloh z praxe

15. Opakovanie (2h)

ANALYTICKÁ GEOMETRIA

1. Vzájomná poloha

    priamok (2h)

vzájomná poloha dvoch priamok v rovine a v priestore

rozhodnúť o vzájomnej polohe priamok pomocou ich smerových a normálových vektorov, daným bodom viesť priamku rovnobežnú s danou priamkou, urobiť diskusiu o vzájomnej polohe dvoch priamok, ak je pri ich vyjadrení použitý aj parameter

IV

2. Prienik priamok, uhol

    priamok (2h)

prienik dvoch priamok, uhol dvoch priamok

nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok, vypočítať uhol dvoch priamok

3. Vzájomná poloha

     rovín (2h)

vzájomná poloha dvoch rovín

rozhodnúť o vzájomnej polohe rovín pomocou ich normálových vektorov, daným bodom viesť rovinu rovnobežnú s danou rovinou, urobiť diskusiu o vzájomnej polohe dvoch rovín, ak je pri ich vyjadrení použitý aj parameter

4. Prienik rovín, uhol

    rovín (2h)

prienik dvoch rovín, uhol dvoch rovín

nájsť súradnice priesečnice dvoch rovín, vypočítať uhol dvoch rovín

5. Vzájomná poloha  

   priamky a roviny (2h)

vzájomná poloha  priamky a roviny

rozhodnúť o vzájomnej polohe priamky a roviny pomocou ich vektorov, daným bodom viesť priamku rovnobežnú s danou rovinou alebo priamkou, urobiť diskusiu o vzájomnej polohe roviny a priamky, ak je pri ich vyjadrení použitý aj parameter

V

6. Prienik priamky

    a roviny, uhol priamky

    a roviny (2h)

prienik priamky a roviny, uhol priamky a roviny

nájsť súradnice priesečníka priamky a roviny, vypočítať uhol priamky a roviny

7. Kolmosť (2h)

kolmosť rovín, kolmosť priamok, priamka kolmá na rovinu

poznať vzťah medzi normálovými (smerovými) vektormi navzájom kolmých rovín a priamok a využiť ich pri riešení úloh

8. Vzdialenosť bodu od

    priamky a roviny (2h)

vzdialenosť bodu od priamky v rovine i v priestore, vzdialenosť bodu od roviny

vedieť vypočítať vzdialenosť bodu od priamky v rovine i v priestore, vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť rovnobežných priamok, vzdialenosť rovnobežných rovín, vzdialenosť priamky od roviny s ňou rovnobežnej

9. Kruh, kružnica (2h)

stredový a všeobecný tvar rovnice kružnice, analytické vyjadrenie kruhu

nájsť súradnice stredu a polomeru kružnice a kruhu, načrtnúť ich v sústave súradníc, nájsť vyjadrenie kružnice danej stredom a polomerom, prechádzajúcej danými bodmi, dotýkajúcej sa osí súradníc

VI

10.Kružnica a priamka

     (2h)

vzájomná poloha lineárnych útvarov a kružnice

rozhodnúť o vzájomnej polohe kružnice a priamky alebo jej podmnožín, nájsť ich prienik, rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch kružníc

11.Dotyčnica kružnice

    (2h)

dotyčnica kružnice

nájsť rovnicu dotyčnice kružnice v danom bode, nájsť rovnicu dotyčnice rovnobežnej s danou priamkou

12.Opakovanie (2h)